Задача 53087

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Формула Герона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов 1 и пересекаются в точке A. Расстояние между центрами окружностей равно 2. Хорда AC большей окружности пересекает меньшую окружность в точке B и делится этой точкой пополам. Найдите эту хорду.

Подсказка

Через центры окружностей проведите прямые, перпендикулярные хорде AC.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры меньшей и большей окружностей соответственно, K – проекция точки O₁ на прямую O₂B, P – проекция точки O₁ на прямую AC, F – точка пересечения луча O₂K с меньшей окружностью. Тогда P – середина AB, а K – середина BF. Обозначим  AP = x.  Тогда  AC = 4x.  Найдём x.

  Первый способ. O₁K = PB = x,  KB² = O₁B² – O₁K² = 1 – x²,  O₂B² = O₂A² – AB² = 2 – 4x².   По теореме Пифагора    откуда  x² = ⁷/₃₂.

  Второй способ. Из равенства треугольников APO₁ и O₁KF (по катету и гипотенузе) следует, что точка O₁ лежит на прямой AF. В треугольнике AO₂F нам известны две стороны и медиана O₂O₁. По формуле из задачи 55267    По формуле Герона   ,   откуда  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	756