Информация о задаче

Задача 53091

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол ABC равен $\alpha$ , угол BCA равен 2 $\alpha$ . Окружность, проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM к AB.

Подсказка

Докажите, что CM — биссектриса треугольника ABC.

Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда по теореме об измерении вписанного угла и по теореме о внешнем угле треугольника

$\displaystyle \angle$ AOC = 2 $\displaystyle \angle$ ABC = 2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AMC = $\displaystyle \angle$ AOC = 2 $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ MCB = $\displaystyle \angle$ AMC - $\displaystyle \angle$ MBC = 2 $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \alpha$ ,

а т.к. $\angle$ ACB = 2 $\alpha$ , то CM — биссектриса треугольника ACB. Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AM}{MB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{\sin (180^{\circ}-3\alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{\sin 3\alpha}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \sin 3\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{2\sin 2\alpha \cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{4\sin \alpha \cos^{2} \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{4\cos ^{2}\alpha}}$ .

Ответ

${\frac{1}{4\cos ^{2}\alpha}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	760