|
|
 |
Условие
Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, лежащей на окружности, до вершин правильного вписанного в эту окружность треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.
Подсказка
См. задачу 52355.
Решение
Пусть M – произвольная точка меньшей дуги AB описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Обозначим AM = x, CM = z, BM = y, AB = BC = AC = a. Тогда ∠AMC = ∠BMC = 60°, а согласно задаче 52355 z = x + y.
Применив теорему косинусов к треугольникам AMC и BMC, получим
2a² = a² + a² = (x² + z² – xz) + (y² + z² – yz) = x² + y² + 2z² – (x + y)z = x² + y² + z².
Таким образом, сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин треугольника равна 2a².
Замечания
Доказанное соотношение – частный случай известного свойства момента инерции (см. задачи 57080 и 57765).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 783 |
