Задача 53122

Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

Подсказка

Продолжите биссектрису треугольника до пересечения с описанной окружностью и рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Пусть M – точка пересечения продолжения биссектрисы CD треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник CBD подобен треугольнику CMA по двум углам. Поэтому  CD : AC = BC : CM,  или  CD(CD + DM) = AC·BC,  CD² + CD·DM = AC·BC.
  Следовательно,  CD² = AC·BC – CD·DM = AC·BC – AD·BD  (мы использовали теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	791