|
Название задачи: Задача о бабочке. |
 |
Условие
Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра
данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две
точки B и C так, что
AB = AC. Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.
Решение 1
Пусть P', Q', M' и R'– точки, симметричные точкам P, Q, M и R относительно диаметра KL окружности, проходящего через точку A, E и E' – точки пересечения прямой l и окружности. Нужно доказать, что точки R' и S совпадают. Мы покажем, что и точка R', и точка S лежат на окружности, проходящей через точки C, N и P'. Такая окружность существует только одна (случай, когда какие-либо две из точек C, N и P' совпадают, очевиден), и она пересекает прямую l, кроме точки C, ещё только в одной точке.
∠(CS, NS) = ∠(Q'Q, NQ) = ∠(Q'P, NP') = ∠(CP', NP'), значит, точки C, N, P', S лежат на одной окружности.
∠(CR', P'R') = ∠(MM', P'M') = ∠(MN, P'N) = ∠(CN, P'N), значит, точки C, N, P', R' лежат на одной окружности.
(Мы пользовались тем, что Q'Q || MM' || l. "Вырожденные" случаи, когда какие-нибудь две точки, определяющие в этих равенствах прямую, совпадают, очевидны.)
Решение 2
Переформулируем задачу.
Пусть P и N – две различные точки окружности с центром O, A– основание перпендикуляра, опущенного из точки O на данную прямую l, и f – отображение, которое каждой точке X прямой l ставит в соответствие точку f(X) этой же прямой по следующему правилу: если X' – точка пересечения прямой PX с окружностью, X'' – точка пересечения прямой NX' с l, то f(X) – точка, симметричная X'' относительно A. Тогда отображение :f совпадает с обратным к нему, то есть f(f(X)) = X для всех X (см. рис.).
Если точка X движется в одну сторону, то Y = f(X) – в противоположную, поэтому отображение f имеет две неподвижные точки Z1 и Z2: f(Z1) = Z1,
f(Z2) = Z2. (Это верно для любого непрерывного взаимно однозначного отображения f окружности на себя, меняющего направление обхода.)
Если точка L – бесконечно удалённая точка прямой l, то, как нетрудно проверить, f(f(L)) = L, причём f(L) ≠ L. Отображение X → f(f(X)) проективное и имеет три неподвижные точки: Z1, Z2 и L, поэтому f(f(X)) = X для всех X.
Замечания
Данная задача – обобщение теоремы о бабочке (см. задачу 52460).
