Задача 53154

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность радиуса 1 касается окружности радиуса 3 в точке C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружность меньшего радиуса в точке A, а большего радиуса – в точке B. Найдите AC, если  AB = 2.

Подсказка

Соедините центры окружностей с точкой касания и рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры меньшей и большей окружностей соответственно. Поскольку  ∠ACO₁ = ∠BCO₂ и треугольники AO₁C и BO₂C равнобедренные, то эти треугольники подобны и коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, то есть ¹/₃.
  Если окружности касаются внутренним образом, то  AC = ½ AB = ,  что невозможно, так как хорда AC меньшей окружности не может быть больше диаметра этой окружности.
  Значит, окружности касаются внешним образом, и  AC = ¼ AB = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	848