Информация о задаче

Задача 53170

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около окружности радиуса R описан параллелограмм. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности и параллелограмма равна S. Найдите стороны параллелограмма.

Подсказка

Данный параллелограмм — ромб. Четырёхугольник с вершинами в точках касания — прямоугольник с острым углом между диагоналями, равным острому углу ромба.

Решение

В данный параллелограмм ABCD вписана окружность, поэтому ABCD -- ромб. Пусть A его острый угол. Четырёхугольник с вершинами в точках касания — прямоугольник с диагоналями, равными 2R. Обозначим угол между ними через $\alpha$ . Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ 2R^.2R sin $\displaystyle \alpha$ = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ ,

откуда sin $\alpha$ = ${\frac{S}{2R^{2}}}$ .

Пусть K — проекция точки B на сторону AD. Тогда

AB = $\displaystyle {\frac{BK}{\sin \angle A}}$ = $\displaystyle {\frac{2R}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{2R}{\frac{S}{2R^{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{4R^{3}}{S}}$ .

Ответ

${\frac{4R^{3}}{S}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	864