Информация о задаче

Задача 53194

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании $\alpha$ . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся обеих боковых сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности.

Подсказка

Рассмотрите треугольник CPQ, где C — вершина данного равнобедренного треугольника, Q — центр второй окружности, P — её точка касания с боковой стороной данного треугольника.

Решение

Пусть Q — центр второй окружности, r — её радиус, P — точка касания с боковой стороной AC треугольника ABC, R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC (AC = BC, AB = a, $\angle$ A = $\angle$ B = $\alpha$ ), D — точка касания окружностей. Тогда точка Q принадлежит диаметру CD первой окружности.

Из прямоугольного треугольника СРQ находим, что

PQ = CQ cos $\displaystyle \angle$ PQC = CQ cos $\displaystyle \alpha$ , или r = (2R - r)cos $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

r = $\displaystyle {\frac{2R\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}$ .

Поскольку

2R = $\displaystyle {\frac{AB}{\sin \angle ACB}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin (180^{\circ} - 2\alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin 2\alpha}}$ ,

то

r = $\displaystyle {\frac{a\cos \alpha}{\sin 2\alpha(1+\cos \alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2\sin \alpha(1 + \cos \alpha)}}$ .

Ответ

${\frac{a}{2\sin \alpha(1 + \cos \alpha)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	889