Информация о задаче

Задача 53198

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Два одинаковых правильных треугольника ABC и CDE со стороной 1 расположены так, что имеют только одну общую точку C и угол BCD меньше, чем 60^o. Точка K — середина AC, точка L — середина CE, точка M — середина BD. Площадь треугольника KLM равна ${\frac{\sqrt{3}}{5}}$ . Найдите BD.

Решение

Поскольку CM — медиана равнобедренного треугольника BCD, то CM — высота этого треугольника. Отрезок CD виден из точек M и L под прямым углом. Следовательно, точки D, L, C и M расположены на окружности с диаметром CD. Поэтому

$\displaystyle \angle$ DML = $\displaystyle \angle$ DCL = 60^o.

Аналогично $\angle$ BMK = 60^o. Тогда $\angle$ KML = 60^o, а т.к. MK = ML (из равенства треугольников MKC и MLC), то треугольник KLM — равносторонний. Поскольку его площадь равна ${\frac{\sqrt{3}}{5}}$ , то сторона равна ${\frac{2}{\sqrt{5}}}$ .

Пусть BC = 2x. Тогда, применив теорему косинусов к треугольнику BMK, получим уравнение

x² + $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ - $\displaystyle {\frac{2x}{\sqrt{5}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ , или x² - $\displaystyle {\frac{2x}{\sqrt{5}}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{20}}$ = 0.

Условию задачи удовлетворяет только один корень этого уравнения:

x = $\displaystyle {\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}}$ < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Следовательно, BD = 2x = ${\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}}$ .

Ответ

${\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	893