|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC биссектриса AH пересекает высоты BP и CT в точках K и M соответственно, причём эти точки лежат внутри треугольника. Известно, что
BK : KP = 2 и MT : KP = 3 : 2. Найдите отношение площади треугольника PBC к площади описанного около этого треугольника круга.
Подсказка
Докажите, что ∠ABP = 30°.
Решение
Обозначим KP = 2x. Тогда BK = 4x, MT = 3x. По свойству биссектрисы треугольника
AP : AB = 1 : 2, поэтому ∠ABP = 30° и BP = 2x.
Из треугольников ATM и ATC находим AT = 3x
, AC = 2AT = 6x
. Поэтому PC = 4x
. Следовательно,
SPBC = ½ PC·BP =
= 12x²
.
По теореме Пифагора BC = = 2x
.
Поскольку радиус описанной окружности прямоугольного треугольника PBC равен половине гипотенузы BC, то искомое отношение равно
=
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 932 |
