Информация о задаче

Задача 53240

Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружности радиуса R = 4 проведены хорда AB и диаметр AK, образующий с хордой угол ${\frac{\pi}{8}}$ . В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке C. Найдите медиану AM треугольника ABC.

Подсказка

Пусть O — центр окружности. Тогда OBC — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Решение

Пусть O — центр окружности. Тогда

$\displaystyle \angle$ BOC = 2 $\displaystyle \angle$ BAO = 45^o.

Из прямоугольного треугольника OBC находим, что BC = 4 и OC = 4 $\sqrt{2}$ . Поэтому AC = AO + OC = 4 + 4 $\sqrt{2}$ . Медиану AM находим по теореме косинусов из треугольника AMC:

AM² = AC² + CM² - 2AC^.CM cos 45^o =

= (4 + 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ )² + 4 - 2^.2^.(4 + 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ )^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 4(9 + 6 $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Ответ

2 $\sqrt{9+6\sqrt{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	935