Информация о задаче

Задача 53244

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высота AH, равная h, медиана AM, равная m, и биссектриса AN. Точка N — середина отрезка MH. Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противолежащей данной вершине.

Решение

Из прямоугольниых треугольников AHM и AHN находим, что

HM² = AM² - AH² = m² - h², HN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ HM = $\displaystyle {\frac{\sqrt{m^{2}- h^{2}}}{2}}$ ,

AN² = AH² + HN² = h² + $\displaystyle {\frac{m^{2} - h^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{m^{2} + 3h^{2}}{4}}$ .

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, K — отличная от A точка пересечения прямой AN с описанной окружностью. Поскольку AK — биссектриса угла BAC, то $\cup$ BK = $\cup$ KC. Поэтому OK — биссектриса угла BOC равнобедренного треугольника BOC. Следовательно, точка M лежит на OK. Поэтому KM $\perp$ BC, а т.к. NH = NM, то из равенства прямоугольных треугольников AHN и KMN следует, что AN = NK. Поэтому ON перпендикулярно хорде AK.

В прямоугольном треугольнике ONK

NK² = OK^.KM, или $\displaystyle {\frac{m^{2} + 3h^{2}}{4}}$ = (h + OM)h.

Отсюда находим, что

OM = $\displaystyle {\frac{m^{2} - h^{2}}{4h}}$ .

Пусть F — точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда

AF = 2OM = $\displaystyle {\frac{m^{2} - h^{2}}{2h}}$ .

Ответ

${\frac{m^{2} - h^{2}}{2h}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	939