Информация о задаче

Задача 53257

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC вписана окружность. Касательная к этой окружности, параллельная стороне BC, пересекает сторону AB в точке D и сторону AC в точке E. Периметры треугольников ABC и ADE равны соответственно 40 и 30, а угол ABC равен $\alpha$ . Найдите радиус окружности.

Подсказка

Пусть M — точка касания данной окружности со стороной AB. Выразите отрезки BM и DM через радиус окружности и угол $\alpha$ и воспользуйтесь подобием треугольников ADE и ABC.

Решение

Треугольники ADE и ABC подобны с коэффициентом подобия, равным отношению их периметров, т.е. ${\frac{3}{4}}$ .

Пусть O — центр данной окружности, r — её радиус, M — точка касания со стороной AB. Из прямоугольных треугольников BMO и OMD находим, что

BM = $\displaystyle {\frac{OM}{{\rm tg }\angle MBO}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}}$ , MD = MOtg $\displaystyle \angle$ DOM = rtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поэтому

BD = BM + MD = r $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{{\rm tg }\frac{\alpha}{2}} + {\rm tg }\frac{\alpha}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}}$ + tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{{\rm tg }\frac{\alpha}{2}} + {\rm tg }\frac{\alpha}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{r\left({\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2} + 1\right)}{{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}}$ .

Пусть F — точка касания данной окружности с отрезком DE, а N -- со стороной AC. Тогда

AM = AN, AM + AN = AD + DE + AE = 30.

Поэтому

AM = 15, AD = AM - MD = 15 - rtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поскольку ${\frac{AD}{AB}}$ = ${\frac{3}{4}}$ , то

AD = 3BD, или 15 - rtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3r\left({\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2} + 1\right)}{{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}}$ .

Откуда находим, что

r = $\displaystyle {\frac{15{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}{3 + 4{\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ .

Ответ

${\frac{15{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}{3 + 4{\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	952