Задача 53259

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность радиуса 2, отсекающая от прямой BC отрезок, равный 4, и касающаяся прямой AC в точке A. Из точки B восставлен перпендикуляр к прямой BC до пересечения с прямой AC в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если  BF = 2.

Подсказка

Докажите, что центр данной окружности лежит на прямой BC и рассмотрите два возможных варианта расположения этого центра на BC относительно точки B.

Решение

  O – центр данной окружности, M – отличная от B точка её пересечения с прямой BC. Поскольку отрезок BM равен диаметру окружности, то он и является диаметром.

  Предположим, что точка M лежит между C и B (рис. слева). Тогда  OA < BF,  что не так.
  Значит, точка B лежит между точками C и M (рис. справа). Из подобия треугольников CAO и CBF получаем, что  S_CAO = (^AO/_BF)² S_CBF = 5S_CBF.  Поэтому
S_OBF = ½ S_AOBF = 2S_CBF,  следовательно,  BC = ½ OB,  S_ABC = ^BC/_OC S_AOC = ¹/₃ S_AOC = ¹/₃·⁵/₂ S_OBF = ⁵/₃ .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	954