Информация о задаче

Задача 53263

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC со стороной BC, равной 9, вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке D. Известно, что AD = DC и косинус угла BCA равен ${\frac{2}{3}}$ . Найдите AC.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Обозначим AC = 2x. Пусть M — проекция точки D на AC. Поскольку треугольник ADC равнобедренный, то M — середина AC.

Из прямоугольного треугольника DMC находим, что

CD = $\displaystyle {\frac{MC}{\cos \angle BCA}}$ = $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ ,

поэтому BD = BC - CD = 9 - ${\frac{3x}{2}}$ .

Пусть K и L — точки касания вписанной в треугольник ABC окружности со сторонами AC и AB соответственно. Тогда

BL = BD = 9 - $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ , CK = CD = $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ ,

AL = AK = AC - CK = 2x - $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ ,

AB = AL + LB = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ + 9 - $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ = 9 - x.

По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

AB² = AC² + BC² - 2AC^.BC cos $\displaystyle \angle$ BCA,

или

(9 - x)² = 4x² + 81 - 2^.2x^.9^. $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ,

или

3x² - 6x = 0.

Следовательно, x = 2, AC = 2x = 4.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	958