Информация о задаче

Задача 53279

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Отношения площадей	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, проведённая через вершины B и C треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке D, а сторону AC — в точке E. Площадь круга, ограниченного этой окружностью, в 12 раз меньше площади круга, описанного около треугольника ADE. Отношение площади треугольника ADE к площади четырёхугольника BDEC равно ${\frac{25}{11}}$ . Угол DBE равен 60^o. Найдите угол ADC.

Подсказка

Найдите коэффициент подобия треугольников ADE и ACB и примените теорему синусов к треугольнику ADC.

Решение

Треугольник ADE подобен треугольнику ACB по двум углам ( $\angle$ ADE = 180^o - $\angle$ BDE = $\angle$ BCA).

Поскольку ${\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{BDEC}}}$ = ${\frac{25}{11}}$ , то ${\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ACB}}}$ = ${\frac{25}{36}}$ . Поэтому ${\frac{AD}{AC}}$ = ${\frac{5}{6}}$ .

По теореме синусов из треугольника ADC находим, что

sin $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{5}}$ sin $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{5}}$ sin $\displaystyle \angle$ DBE =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{5}}$ sin 60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{5}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{5}}$ > 1,

что невозможно.

Ответ

Задача не имеет решений.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	974