Информация о задаче

Задача 53283

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD из вершины B на сторону AD опущен перпендикуляр BE. Найдите углы ромба, если 2 $\sqrt{3}$ CE = $\sqrt{7}$ AC.

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольнику CAE.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Положим AC = 2x, $\angle$ BAD = $\alpha$ . Тогда

AB = $\displaystyle {\frac{AO}{\cos \angle BAO}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ , AE = AB cos $\displaystyle \angle$ BAE = $\displaystyle {\frac{x\cos \alpha}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ , CE = $\displaystyle {\frac{AC\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}}$ = x $\displaystyle \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

По теореме косинусов изтреугольника CAE находим, что

CE² = AE² + AC² - 2AE^.AC cos $\displaystyle \angle$ CAE,

или

$\displaystyle {\frac{7x^{2}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{x^{2}\cos ^{2}\alpha}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ + 4x² - 4x²cos $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle {\frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ , $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{3}}$ = 4 + $\displaystyle {\frac{\cos ^{2}\alpha}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ - 4 cos $\displaystyle \alpha$ .

Применив формулу cos² ${\frac{\alpha}{2}}$ = ${\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$ , после упрощения получим уравнение

6 cos² $\displaystyle \alpha$ + 7 cos $\displaystyle \alpha$ - 5 = 0,

из которого находим, что cos $\alpha$ = ${\frac{1}{2}}$ . Следовательно, $\alpha$ = 60^o.

Ответ

60^o, 120^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	978