Задача 53316

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой, причём отрезки AB и CD имеют общую середину.
Докажите, что, если треугольник ABE равнобедренный с основанием AB, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD.

Решение 1

  Пусть M – общая середина отрезков AB и CD, а точка C лежит между точками A и M. Тогда  AC = AM – CM  и  DB = BM – DM,  а так как  AM = BM  и
CM = DM,  то  AC = BD.
  Поскольку треугольник ABE равнобедренный с основанием AB, то  AE = BE  и  ∠CAE = ∠DBE.  Следовательно, треугольники ACE и BDE равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  CE = DE,  то есть треугольник CDE равнобедренный с основанием CD.

Решение 2

  Точка E лежит на серединном перпендикуляре к AB, а значит, и на серединном перпендикуляре к CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1012