|
|
 |
Условие
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним
образом правильные треугольники BCK и DCL.
Докажите, что треугольник AKL – правильный.
Подсказка
Треугольники KCL, ADL, KBA равны.
Решение
Первый способ. Обозначим ∠BCD = α. Рассмотрим случай, когда α < 60°.
Поскольку KC = BC = AD, CL = LD,
∠KCL = ∠KCB + ∠BCD + ∠DCL = 60° + α + 60° = 120° + α, ∠ADL = 360° – ∠ADC – ∠CDL = 360° – (180° – α) ‐ 60° = 120° + α, то треугольники KCL и ADL равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому KL = AL. Точно так же докажем, что KL = AK. Аналогично для остальных случаев.
Второй способ. При повороте на угол 60° векторы и
переходят в векторы
и
=
. Следовательно, при этом повороте вектор
=
+
переходит в вектор
+
=
.
Поэтому треугольник AKL – равносторонний.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1039 |
