Задача 53354

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

Подсказка

Отложите на продолжении указанной медианы AM за точку M отрезок, равный медиане, и примените признак равенства треугольников.

Решение

  Пусть AP и AQ – указанные стороны квадратов APEB и AQFC, AM – медиана треугольника ABC,  ∠BAC = α.
  Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный отрезку AM. Тогда  CK = AB = AP,  AC = AQ,
∠PAQ = 360° – 90° – 90° – α = 180° – α = ∠KCA.
  Поэтому треугольники ACK и QAP равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  AK = PQ  и   AM = ½ AK = ½ PQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1050