Задача 53356

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC, причём  AB = AC  и  ∠A = 80°.  Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что  ∠MBC = 30°,  а  ∠MCB = 10°.  Найдите ∠AMC.

Подсказка

Пусть N – точка пересечения прямой BM с биссектрисой угла BAC. Докажите, что треугольники ACN и MCN равны.

Решение

  Пусть N – точка пересечения прямой BM с биссектрисой угла BAC. Поскольку  ∠BNC = 120°,  то  ∠ANC = ∠ANB = 120°, а так как  ∠C = ∠B = 50°,
∠ACN = ∠ABN = 20°,  то  ∠NCM = 50° – 20° – 10° = 20°.
  Поэтому треугольники ACN и MCN равны по стороне (CN – общая) и двум прилежащим к ней углам. Следовательно,   AC = CM,
∠AMC = ∠MAC = ½ (180° – ∠ACM) = ½ (180° – 40°) = 70°.

Ответ

70°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1052