Задача 53358

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны AB. Точки M и N делят AD на три равные части. Найдите  ∠AMB + ∠ANB + ∠ADB.

Подсказка

Постройте на большей стороне прямоугольника равный ему другой прямоугольник.

Решение 1

  Предположим, что точка M расположена между точками A и N. Рассмотрим прямоугольник BPQC, равный прямоугольнику ABCD и имеющий с ним единственную общую сторону BC (см. рис.).

  Пусть T – такая точка на стороне PQ, что  PT = 2TQ.  Тогда прямоугольные треугольники BNA, TDQ и BTP равны по двум катетам. Поэтому  BT = TD,
∠BTD = 180° – ∠BTP – ∠QTD = 180° – ∠BTP – (90° – ∠QDT) = 90°.
  Следовательно,  ∠BDT = 45°  и  ∠AMB + ∠ANB + ∠ADB = ∠BDT + ∠TDQ + ∠ADB = 90°.

Решение 2

  Так как     то треугольники BMN и DMB подобны. Следовательно,
∠ANB + ∠ADB = ∠MNB + ∠MDB = ∠MBD + ∠MDB = ∠AMB = 45°.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1054
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.039