Задача 53362

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Богатуров Ю.Т.

Точка K – середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ AC в отношении  AL : LC = 3 : 1.  Докажите, что угол KLD прямой.

Подсказка

Пусть M и N – проекции точки L на стороны AB и AD. Докажите равенство треугольников KML и DNL.

Решение 1

Пусть M и N – проекции точки L на стороны AB и AD. Тогда  KM = MB = ND  и  KL = LB = DL.  Поэтому прямоугольные треугольники KML и DNL равны. Следовательно,  ∠DLK = ∠NLM = 90°.

Решение 2

Пусть P – середина CD. Так как     то треугольники CLD и CNA подобны. Поэтому  ∠LDN = ∠LDC = ∠NAC = ∠NAL.  Следовательно, точки A, L, N, D лежат на одной окружности. Но на этой же окружности лежит и точка K. Угол KLD опирается на диаметр KD этой окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1058