Задача 53381

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Удвоение медианы ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Решение

  Пусть ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB, а M – середина гипотенузы.

  Первый способ Отложим на продолжении медианы CM за точку M отрезок MP, равный MC. Из равенства треугольников PMB и CMA (по двум сторонам и углу между ними) следует, что  ∠MBP = ∠A.  Поэтому  ∠PBC = ∠PBM + ∠MBC = ∠A + ∠B = 90°.
  Следовательно, треугольник PBC равен треугольнику ACB (по двум катетам). Поэтому  AB = PC = 2CM.

  Второй способ. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы. Поэтому  MC = MA = MB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1109