Задача 53389

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы углов A и B треугольника ABC одинаково наклонены к сторонам BC и AC. Найдите зависимость между углами A и B.

Подсказка

Рассмотрите два случая. Воспользуйтесь теоремой о внешнем угле треугольника.

Решение

  Пусть AK и BM – биссектрисы треугольника ABC, P – точка их пересечения,  ∠A = α,  ∠B = β.
  Из условия следует, что  ∠AKC = ∠BMC  или  ∠AKC + ∠BMC = 180°.  В первом случае  ∠AKC = ∠KAB + ∠KBA = ^α/₂ + β,
∠BMC = ∠MBA + ∠MAB = α + ^β/₂.
  Тогда  ^α/₂ + β = α + ^β/₂.  Следовательно,  α = β.
  Во втором случае аналогично получим, что  α + β = 120°.

Ответ

∠A = ∠B  или  ∠A + ∠B = 120°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1117