Задача 53390

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  ∠B = 36°, ∠C = 42°.  На стороне BC взята точка M так, что  BM = R,  где R – радиус описанной окружности треугольника ABC.
Найдите угол MAC.

Подсказка

Докажите, что точка M лежит на радиусе, соединяющем центр описанной окружности с вершиной A.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности.  ∠AOB = 2∠C = 84°,  ∠BOC = 2∠B + 2∠C = 156°,  ∠OBC = 90° – ½ ∠BOC = 12°,
∠BOM = 90° – ½ ∠OBM = 84° = ∠BOA.
  Следовательно, точка M лежит на отрезке OA. Значит,  ∠MAC = ∠BAC – ∠BAO = 54°.

Ответ

54°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1118