Задача 53462

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AC и BC равностороннего треугольника ABC построены внешним образом равнобедренные прямоугольные треугольники ACN и BCM с прямыми углами при вершинах A и C соответственно. Докажите, что  BM ⊥ BN.

Подсказка

Вычислите углы ABN и CBN.

Решение

  Треугольник BAN равнобедренный, так как  AB = AC = AN.  Поскольку  ∠BAN = ∠BAC + ∠CAN = 150°,  ∠ABN = (180° – ∠BAN) : 2 = 15°,  поэтому
∠CBN = ∠CBA – ∠ABN = 45°.
  Следовательно,  ∠MBN = ∠CBN + ∠CBM = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1191