Задача 53487

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении  1 : 3.
Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Подсказка

Если M – точка пересечения диагоналей AC и BD прямоугольника ABCD, то треугольник AMD – равнобедренный.

Решение

  Пусть AK – перпендикуляр, опущенный из вершины A прямоугольника ABCD на диагональ DB, причём  ∠BAK = 3∠DAK;  M – точка пересечения диагоналей. Тогда  ∠DAK = 90° : 4 = 22,5°,  ∠ADM = 67,5°.
  Поскольку треугольник AMD – равнобедренный, то  ∠ DAM = ∠ADM = 67,5°.  Поэтому  ∠ KAM = ∠DAM – ∠DAK = 67,5° – 22,5° = 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1216