Задача 53489

Тема:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45.

Подсказка

Сумма трёх сторон прямоугольника равна гипотенузе треугольника.

Решение

Предположим, что большая сторона MN прямоугольника MNKL находится на гипотенузе AB треугольника ABC, вершина K — на BC, вершина L — на AC. Пусть

AM = ML = NK = NB = 2x.

Тогда MN = KL = 5x. Поскольку AM + MN + NB = 45, то из уравнения 2x + 5x + 2x = 45 находим, что x = 5. Следовательно,

LM = KN = 2x = 10, KL = MN = 5x = 25.

Аналогично для случая, когда MN — меньшая сторона.

Ответ

25 и 10; 18,75 и 7,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1218