|
|
 |
Условие
В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой стороне AB. Продолжения боковых сторон AB и DC пересекаются в точке K, образуя треугольник AKD с углом 45° при вершине K. Площадь трапеции ABCD равна P. Найдите площадь треугольника AKD.
Подсказка
Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Решение
Пусть M – точка пересечения диагоналей трапеции. ∠AMB = ∠AKD как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Первый способ. KB = BD, KC = AC (поскольку треугольники DBK и ACK – прямоугольные и равнобедренные). Значит,
2SBKC = BK·CK sin∠AKD = AC·BD sin∠AMB = SАBCD = 2P. Следовательно, SAKD = SBKC + 2SABCD = 2P.
Второй способ. Точки B и C лежат на окружности с диаметром AD. Поэтому трапеция ABCD – равнобедренная.
Коэффициент подобия треугольников AKD и BKC равен
Поэтому SAKD = 2SBKC.
Следовательно, SAKD = 2SABCD = 2P.
Ответ
2P.
Замечания
Как видно из первого способа решения, вид четырёхугольника ABCD, а также величина угла K несущественны.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1245 |
