Задача 53517

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Отношения площадей подобных фигур ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой стороне AB. На продолжениях боковых сторон AB и DC за меньшее основание BC отложены отрезки BM и CN так, что получается новая трапеция BMNC, подобная трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции AMND равна S, а сумма углов CAD и BDA равна 60°.

Решение

Пусть K – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. По условию вершины B и C лежат на окружности с диаметром AD. Поэтому трапеция ABCD равнобедренная, а  ∠CAD = ∠BDA = 30°.  Коэффициент подобия трапеций ABCD и BMNC равен  ^AD/_BC = ^AK/_KC = ^AK/_KB = 2.  Поэтому  S_ABCD = 4S_BMNC = ⅘ S.

Ответ

0,8S.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1246