Задача 53534

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами m и n. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Составьте систему уравнений относительно катетов треугольника, учитывая, что указанная медиана равна половине гипотенузы.

Решение

  Пусть x – медиана, проведённая к гипотенузе. Тогда гипотенуза равна 2x, а катеты  m – 2x  и  n – 2x.
  По теореме Пифагора  4x² = (m – 2x)² + (n – 2x)² = m² + n² – 4x(m + n) + 8x².
  Из этого квадратного уравнения (учитывая, что  2x < m + n)  находим, что  2x = n + m – .

Ответ

– m,   – n,  n + m – .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1263