ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53545
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника,

а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;

б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.


Подсказка

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.


Решение

Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD. Тогда MN || KL (т. к. MN и KL — средние линии треугольников ABC и ADC) и NK || ML (аналогично). Следовательно, четырёхугольник MNKL — параллелограмм.

Если MK = NL, то этот параллелограмм — прямоугольник. Тогда MN $ \perp$ ML. Поэтому AC $ \perp$ BD.

Если же MK $ \perp$ NL, то MNKL — ромб. Поэтому MN = ML. Следовательно, AC = BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1274

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .