ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 53545
УсловиеДокажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны; б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.
ПодсказкаСередины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
РешениеПусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD. Тогда MN || KL (т. к. MN и KL — средние линии треугольников ABC и ADC) и NK || ML (аналогично). Следовательно, четырёхугольник MNKL — параллелограмм. Если MK = NL, то этот параллелограмм — прямоугольник. Тогда MN ML. Поэтому AC BD. Если же MK NL, то MNKL — ромб. Поэтому MN = ML. Следовательно, AC = BD.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|