Задача 53546

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60^o. На этой дуге взята точка M. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков MB и OA.

Подсказка

Указанные отрезки являются диагоналями ромба.

Решение

Пусть P, D, Q, E — середины сторон соответственно AM, MB, BO, AO четырёхугольника AMBO. Тогда PDQE — параллелограмм. Поскольку треугольник AOB равносторонний, то

PD = AB = AO = OM = DQ.

Следовательно, PDQE — ромб. Поэтому PQ DE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1276