Задача 53550

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса CD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно DC, пересекает AC в точке E. Докажите, что  EC = 2AD.

Подсказка

Соедините точку D с серединой отрезка CE.

Решение

Пусть DM – медиана прямоугольного треугольника CDE. Тогда  DM = ½ CE.  С другой стороны,  ∠DME = 2∠DCM = ∠BCA = ∠BAC.  Поэтому треугольник MDA – равнобедренный. Следовательно,  AD = DM = ½ EC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1280