Задача 53561

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках A, B, C,  ∠ABC = 90°.  Точки касания – K, P и M; точка P лежит на стороне AC. Найдите угол KPM.

Подсказка

Выразите искомый угол через острые углы треугольника ABC.

Решение

  Обозначим  ∠BAC = α,  ∠ACB = γ  (α + γ = 90°).
  Пусть точка K лежит на отрезке AB. Из равнобедренных треугольников KAP и MCP находим, что  ∠APK = 90° – ^α/₂,  ∠MPC = 90° – ^γ/₂.
  Значит,  ∠KPM = 180° – (∠APK + ∠MPC) = ½ (α + γ) = 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1302