Информация о задаче

Задача 53573

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
Темы:	[	Метод ГМТ	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник по медиане и двум углам.

Подсказка

На продолжении медианы отложите отрезок, равный медиане.

Решение

Поскольку сумма углов треугольника равна 180^o, то можно считать, что данные углы противолежат вершине, из которой проведена данная медиана.

Пусть в треугольнике ABC известны углы $\angle$ B = $\beta$ и $\angle$ C = $\gamma$ и медиана AD = m_a, проведённая к стороне BC. На продолжении отрезка AD за точку D возьмём точку A₁ так, что DA₁ = AD. В треугольнике AA₁B известна сторона AA₁ = 2m_a и углы $\angle$ ABD = $\beta$ и $\angle$ A₁BD = $\angle$ ACB = $\gamma$ .

Из точки B отрезок AD виден под углом $\beta$ , а отрезок A₁D — под углом $\gamma$ Тогда вершина B есть пересечение двух дуг, построенных на AD и DA₁, вмещющих углы $\beta$ и $\gamma$ соответственно и расположенных по одну сторону от прямой AA₁. Отсюда выстекает следующее построение.

Строим середину D произвольного отрезка AA₁ = 2m_a. На отрезке AD как на хорде построим дугу окружности так, чтобы из каждой точки этой дуги отрезок AD был виден под данным углом $\beta$ . По ту же сторону от прямой AA₁ строим на отрезке A₁D как на хорде дугу окружности так, чтобы из каждой точки этой дуги отрезок A₁D был виден под данным углом $\gamma$ . Пусть B — точка пересечения этих дуг, отличная от D. На продолжении медианы BA₁ треугольника ABA₁ отложим отрезок A₁C, равный BA₁. Тогда треугольник ABC — искомый.

Действительно, AD = ${\frac{1}{2}}$ AA₁ = m_a — данная медиана.

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \angle$ A₁BC = $\displaystyle \angle$ A₁BD = $\displaystyle \gamma$

-- данные углы.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1314