Задача 53575

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Известно, что радиусы окружностей, описанных около этих четырёх треугольников, равны между собой. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Подсказка

Углы, вписанные в равные окружности и опирающиеся на равные хорды, либо равны, либо в сумме дают 180^o.

Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Поскольку углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну хорду, либо равны, либо в сумме дают 180^o, то углы, вписанные в равные окружности и опирающиеся на равные хорды, также либо равны, либо в сумме дают 180^o. Окружности, описанные около треугольников ABM и ADM, равны, но сумма углов ABM и ADM не может равняться 180^o. Следовательно, ABM = ADM, AB = AD. Далее аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1316