Задача 53577

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AD и DC ромба ABCD построены правильные треугольники AKD и DMC, причём точка K лежит по ту же сторону от AD, что и прямая BC, а точка M – по другую сторону от DC, чем AB. Докажите, что точки B, K и M лежат на одной прямой.

Подсказка

Докажите, что  ∠MBD = ∠KBD.

Решение

  Первый способ. Пусть угол A ромба равен α. Рассмотрим случай, когда  60° ≤ α ≤ 120°.  Тогда  ∠BAK = α – 60°,  ∠KBA = 90° – ½ (α – 60°) = 120° – ^α/₂,
∠CBK = ∠ABC – ∠KBA = 60° – ^α/₂.
  С другой стороны,  ∠BCM = α + 60°,  ∠CBM = 90° – ½ (α + 60°) = 60° – ^α/₂.
  Из равенства углов CBK и CBM заключаем, что точки B, K и M лежат на одной прямой.

  Второй способ. Пусть a – сторона ромба. Тогда точки B, K и D лежат на окружности с центром A и радиусом a, а точки B, D и M – на окружности того же радиуса с центром в точке C. Значит,  ∠MBD = ½ ∠MCD = 30°.
  С другой стороны, ∠KBD = ½ ∠KAD = 30°.
  Из равенства углов MBD и KBD следует, что точки B, K и M лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1318