Задача 53583

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит этот треугольник на два треугольника. Расстояние между центрами вписанных окружностей этих треугольников равно 1. Найдите радиус вписанной окружности исходного треугольника.

Решение

  Пусть ABC – исходный треугольник, CD – его высота, опущенная на гипотенузу, O₁ и O₂ – центры вписанных окружностей треугольников ADC и CDB соответственно, r₁ и r₂ – их радиусы, r – радиус вписанной окружности треугольника ABC.
  Треугольники ACD и CBD подобны треугольнику ABC с коэффициентами ^AC/_AB и ^BC/_AB соответственно, поэтому из равенства  AC² + BC² = AB²  следует, что  
  В прямоугольном треугольнике O₁DO₂ катеты равны  r₁  и  r₂,  поэтому  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1324