Задача 53586

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите периметр треугольника, один из углов которого равен α , а радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R .

Решение

Пусть угол A треугольника ABC равен α , O — центр вписанной окружности, K — точка касания вписанной окружности со стороной AB , M — со стороной AC . Тогда

BC = 2R sin α, AK = OK ctg = r ctg .
Поскольку AM = AK и BK + CM = BC , то
AB + AC + BC = 2AK + 2BC = 2r ctg + 4R sin α.

Ответ

2(r ctg + 2R sin α) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1327