Информация о задаче

Задача 53595

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть Q - центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников AQB, BQC и AQC лежат на описанной окружности треугольника ABC.

Подсказка

Пусть O - центр описанной окружности треугольника BQC. Докажите, что $\angle$ BOC = 180^o - $\angle$ BAC.

Решение

Первый способ.

Пусть O - центр описанной окружности треугольника BQC. Поскольку $\angle$ BQС = 90^o + $\angle$ A/2 (угол между биссектрисами двух внутренних углов треугольника), то

$\displaystyle \angle$ BOC = 360^o - 2^. $\displaystyle \angle$ BQС = 360^o - 2(90^o + $\displaystyle \angle$ A/2) = 180^o - $\displaystyle \angle$ A.

Следовательно, точка O лежит на окружности, проходящей через точки A, B и C, т.е. на описанной окружности треугольника ABC.

Второй способ.

Пусть прямая AQ пересекает описанную окружность треугольника ABC и точке D. Докажем, что QD = BD = CD.

Действительно, угол BQD - внешний угол треугольника AQB, поэтому

$\displaystyle \angle$ BQD = $\displaystyle \angle$ BAQ + ABQ = $\displaystyle \angle$ A/2 + $\displaystyle \angle$ B/2 = $\displaystyle \angle$ CBD + QBC = $\displaystyle \angle$ QBD.

Значит, треугольник BDQ - равнобедренный и BD = QD.

Аналогично CD = QD.

Поскольку QD = BD = CD, то точка D, расположенная на описанной окружности треугольника ABC, является центром окружности, проходящей через точки B, Q, C.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1336