Информация о задаче

Задача 53622

Тема:

[

Теорема косинусов

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 60^o, AB = 1, BC = a. Найдите AC.

Подсказка

С помощью теоремы косинусов составьте квадратное уравнение относительно AC и исследуйте его.

Решение

Обозначим AC = x. По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

a² = 1 + x² - 2x cos 60^o = 1 + x² - x,

или

x² - x + 1 - a² = 0.

Пусть D — дискриминант этого квадратного уравнения. Тогда D = 4a² - 3.

Если D < 0 (т.е. a < ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ), то уравнение не имеет решений.

Если D = 0 ( a = ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ), уравнение имеет единственное решение: a = ${\frac{1}{2}}$ .

Если D > 0 ( a > ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ), то уравнение имеет два различных решения: x = ${\frac{1 \pm \sqrt{4a^{2} - 3}}{2}}$ , причём, если ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ < a < 1, то оба они положительны, т.к. по теореме Виета их сумма равна 1, а произведение равно 1 - a² > 0.

Если же a $\geqslant$ 1, то корень ${\frac{1 + \sqrt{4a^{2} - 3}}{2}}$ — положительный, а корень ${\frac{1 - \sqrt{4a^{2} - 3}}{2}}$ — отрицательный или 0 (при a > 1 их произведение равно отрицательному числу 1 - a²).

Ответ

Если a < ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ , решений нет;

если a = ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ , AC = ${\frac{1}{2}}$ ;

если ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ < a < 1, AC = ${\frac{1 \pm \sqrt{4a^{2} - 3}}{2}}$ ;

если a $\geqslant$ 1, AC = ${\frac{1 + \sqrt{4a^{2} - 3}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1357