Информация о задаче

Задача 53626

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Докажите, что если:

а) два из этих четырёхугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным;

б) два из этих четырёхугольников являются описанными, то и третий также является описанным.

Подсказка

б) Докажите следующее утверждение.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике XYZT нет параллельных сторон. Обозначим через E и F точки пересечения прямых XY и TZ, YZ и XT соответственно (точка X лежит на отрезке YE, а точка Z — на отрезке YF). Для того, чтобы четырёхугольник XYZT был описанным необходимо и достаточно, чтобы ET + YF = TF + YE.

Решение

а) Пусть MA₁CB₁ и MB₁AC₁ — вписанные четырёхугольники. Тогда

$\displaystyle \angle$ A₁MB₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$ ACB, $\displaystyle \angle$ B₁MC₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$ BAC,

поэтому

$\displaystyle \angle$ A₁MC₁ = 360^o - ( $\displaystyle \angle$ A₁MB₁ + $\displaystyle \angle$ B₁MC₁) = $\displaystyle \angle$ ACB + $\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - $\displaystyle \angle$ ABC.

Следовательно , MA₁BC₁ — вписанный четырёхугольник.

б) Докажем сначала следующее утверждение.

Пусть в выпуклом четырехугольнике XYZT нет параллельных сторон. Обозначим через E и F точки пересечения прямых XY и TZ, YZ и XT соответственно (точка X лежит на отрезке YE, а точка Z — на отрезке YF). Для того, чтобы четырёхугольник XYZT был описанным необходимо и достаточно, чтобы

ET + YF = TF + YE.

Необходимость. Дано: XYZT — описанный четырехугольник. Пусть касательные к вписанной окружности из точек X, Y, Z, T, E и F равны соответственно x, y, z, t, e и f. Тогда

ET = e - t, YF = y + f, TF = f - t, YE = y + e.

Значит,

ET + YF = e - t + y + f, TF + YE = f - t + y + e.

Следовательно, ET + YF = TF + YE.

Достаточность. Пусть выполняется равенство ET + YF = TF + YE. Тогда

YF - TF = YE - ET.

Докажем, что биссектрисы углов YEZ, YFX и XYZ пересекаются в одной точке. Отсюда будет следовать, что XYZT — описанный четырёугольник. (Точка пересечения этих биссектрис будет равноудалена от XY и ZT, YZ и XT, а также от XY и YZ.)

Возьмём на продолжении отрезка EX за точку X такую точку K, чтобы EK = ET, а на продолжении отрезка FZ за точку Z — такую точку S, чтобы FS = FT. Поскольку

YK = YE - EK = YE - ET, YS = YF - SF = YF - TF,

то из условия следует, что YK = YS.

Рассмотрим треугольник KTS. Серединный перпендикуляр к стороне KT этого треугольника является биссектрисой угла KET (или угла YEZ). Это следует из равнобедренности треугольника KET. Аналогично докажем, что серединный перпендикуляр к стороне ST есть биссектриса угла SFT (или угла YFX), а серединный перпендикуляр к стороне SK — биссектриса угла KYS (или угла XYZ).

Следовательно, указанные биссектрисы пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника KTS. Утверждение полностью доказано.

Пусть теперь MA₁CB₁ и MB₁AC₁ — описанные четырёхугольники. Тогда

AM + BC = BM + AC, CM + AB = BM + AC,

поэтому

AM + BC = CM + AB.

Следовательно , MA₁BC₁ — описанный четырёхугольник.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1361