Информация о задаче

Задача 53651

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Угол при вершине A ромба ABCD равен 60^o. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки M и N, причём AM = BN. Докажите, что треугольник MDN — равносторонний.

Подсказка

Рассмотрите поворот на 60^o вокруг точки D.

Решение

Первый способ.

При повороте на 60^o по часовой стрелке вокруг точки D вершина B переходит в вершину C, вершина A — в вершину B, луч AB — в луч BC, а т.к. AM = BN, то точка M переходит в точку N. Следовательно, треугольник MDN — равносторонний.

Второй способ.

Треугольники AMD и BND равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, DM = DN. Кроме того,

$\displaystyle \angle$ MDN = $\displaystyle \angle$ MDB + $\displaystyle \angle$ BDN = $\displaystyle \angle$ MDB + $\displaystyle \angle$ ADM = $\displaystyle \angle$ ADB = 60^o.

Следовательно, треугольник MDN — равносторонний.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1386