Задача 53660

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что площадь треугольника ODC (O – точка пересечения диагоналей) есть среднее пропорциональное между площадями треугольников BOC и AOD. Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

Подсказка

S_ODC : S_BOC = DO : OB.

Решение

Из условия следует, что  S_ODC : S_BOC = S_AOD : S_ODC.  В то же время S_ODC : S_BOC = DO : OB,  S_AOD : S_ODC = AO : OC,  поэтому  DO : OB = AO : OC.  Значит, треугольники BOC и DOA подобны. Следовательно,  ∠BCO = ∠DAO.  Поэтому  BC || AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1395