|
|
 |
Условие
Точка M, лежащая вне круга с диаметром AB, соединена с точками A и B. Отрезки MA и MB пересекают окружность в точках C и D соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник AMB, в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найдите углы треугольника AMB, если известно, что один из них в два раза больше другого.
Подсказка
Треугольник MCD подобен треугольнику MBA с коэффициентом ½.
Решение
Поскольку ∠MCD = ∠ABD, то треугольник MCD подобен треугольнику MBA. Из отношения площадей вписанных кругов следует, что коэффициент подобия треугольников MCD и
MBA равен ½. Значит, cos∠CMB = MC/MB = ½, а так как CMB – острый (точка M расположена вне данного круга), то
∠AMB = ∠CMB = 60°.
Угол при вершине M треугольника AMB не может быть вдвое меньше угла A или B, так как в противном случае один из углов A или B равен 120°, что невозможно. Если же угол M вдвое больше угла A, то угол B равен 90°, что также невозможно (в этом случае прямая MB касается данной окружности). Аналогично угол M не может быть вдвое меньше угла B.
Таким образом, либо угол A вдвое больше угла B, либо наоборот. В каждом из этих случаев один из углов равен 40°, а второй
80°.
Ответ
60°, 40°, 80°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1440 |
