Информация о задаче

Задача 53724

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Докажите, что четыре точки, в которых перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны AB и CD, пересекают диагонали AC и BD, лежат на одной окружности.

Решение

Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, указанные перпендикуляры проходят через середины M и N сторон AB и CD.

Пусть прямая, проходящая через точку O перпендикулярно AB, пересекает прямые AC и BD в точках P и Q, а прямая, проходящая через O перпендикулярно CD — в точках R и S. Предположим, что точка P лежит между точками A и F, а точка Q — между D и F, где F — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Тогда

$\displaystyle \angle$ PQS = 90^o + $\displaystyle \angle$ MBQ = 90^o + $\displaystyle \angle$ ABD, $\displaystyle \angle$ PRS = $\displaystyle \angle$ CRN = 90^o - $\displaystyle \angle$ ACD,

а т.к. $\angle$ ABD = $\angle$ ACD, то

$\displaystyle \angle$ PQS + $\displaystyle \angle$ PRS = 90^o + $\displaystyle \angle$ ABD + 90^o - $\displaystyle \angle$ ACD = 180^o,

следовательно, точки P, Q, R и S лежат на одной окружности.

Аналогично для остальных случаев.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1458