Информация о задаче

Задача 53725

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Известно, что в четырехугольник можно вписать и около него можно описать окружность. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания противоположных сторон с вписанной окружностью, взаимно перпендикулярны.

Подсказка

Примените теорему об угле между пересекающимися хордами.

Решение

Пусть ABCD - данный четырехугольник; K, L, M и N - точки касания его сторон AB, BC, CD и AD с вписанной окружностью; T - точка пересечения отрезков KM и NL; O - центр вписанной окружности четырехугольника ABCD. Обозначим $\angle$ ADC = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ MON = 180^o - $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \angle$ ABC, $\displaystyle \angle$ KOL = 180^o - $\displaystyle \angle$ ABC = 180^o - $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно,

$\angle$ MTN = ( $\cup$ MN + $\cup$ KL)/2 = ( $\angle$ MON + $\angle$ KOL)/2 = 180^o/2 = 90^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1459