Задача 53757

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольник, основание которого равно 48, а высота – 16, вписан прямоугольник с отношением сторон  5 : 9,  причём большая сторона лежит на основании треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

Подсказка

Используйте равенство отношений соответствующих высот к основаниям в подобных треугольниках.

Решение

  Пусть вершины M и N прямоугольника MNKL расположены на сторонах соответственно AB и BC треугольника ABC, а вершины K и L – на основании AC,  MN = 9x,  ML = 5x.
  Высоты подобных треугольников MBN и ABC, проведённые из вершины B, относятся как основания MN и AC, то есть  ^16–5x/₁₆ = ^9x/₄₈.  Отсюда  x = 2.  Следовательно,  ML = 10,  MN = 18.

Ответ

10 и 18.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1521